极小曲面的非局部逼近：由稳定性得到的最优估计

闭 3 流形中的极小曲面经典上通过 Almgren-Pitts 方法构造。Allen-Cahn 逼近已被证明是一种强有力的替代方案，Chodosh 与 Mantoulidis（Ann. Math. 2020）利用它给出了 Yau 猜想对于泛型度量的新证明并确立了重数一猜想。本文的主要目标是为基于非局部极小曲面的新逼近奠定基础。更确切地说，我们证明：若 $\partial E$ 是 $B_1\subset \mathbb R^3$ 中的稳定 $s$-极小曲面，则：-$\partial E\cap B_{1/2}$ 具有在 $s\uparrow 1$ 时稳健（即关于 $s$ 一致）的 $C^{2,\alpha}$ 估计；- $\partial E\cap B_{1/2}$ 的不同连通分支之间的距离至少应为 $(1-s)^{\frac 1 2}$ 阶（最优片层分离估计）；- 在 $(1-s)^{\frac 1 2}$ 阶距离处多片层之间的相互作用由 D\'avila--del Pino--Wei 系统描述。本文的第二个重要目标是确立：对于充分接近 $1$ 的 $s\in(0,1)$，超平面是 $\mathbb R^4$ 中唯一的稳定 $s$-极小超曲面。这是通过利用对上述结果的适当修改完成的。在此应用中，关键用到了我们的曲率与分离估计在无需任何面积有界假设下成立（与 Allen-Cahn 的类似估计相反）。