实数上的非线性递归与 Graham 的一个问题

我们研究由 $x_{n+1} = f(x)$ 给出的实数序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，其中 $$f(x) = x - \sum_{i=1}^{m} \frac{\alpha_i}{x - \beta_i},$$ 且 $\alpha_1, \dots, \alpha_m \in \mathbb{R}_{>0}$ 和 $\beta_1, \dots, \beta_m \in \mathbb{R}$ 是任意的。一个特例是由 Ronald Graham 提出的 $x_{n+1} = x_n - 1/x_n$，Chamberland 和 Martelli 证明了其动力学是混沌的（拓扑共轭于加倍映射）。我们证明，尽管一般的非线性递归可能是混沌的，但它能有效地确保大多数迭代值相对快速地接近极点 $\beta_i$ 之一。更精确地说，对于正比例的初始值 $x \in \mathbb{R}$，序列在相对较少（$\lesssim x^2$）的迭代步数内会变得非常接近（距离 $\lesssim |x|^{-1}$）极点 $\beta_i$ 之一。