有限 $\beta$-系综中拥挤现象的大偏差

我们考虑在 $\mathbb F$ 上具有 $n$ 个点的有限 $\beta$-系综 $\mathcal X_{n,\beta}^{\mathbb F}$，其中 $\mathbb F$ 表示实轴或复平面。设 $U$ 为 $\mathbb F$ 的有界子集，使得当 $\mathbb F=\mathbb R$ 时 $\partial U$（$U$ 的边界）为极集，且 $\partial U$ 为具有有限一维 Hausdorff 测度的闭 $1$-可求长集。假设 $\mathcal X_{n,\beta}^{\mathbb F}(U)$ 表示区域 $U$ 中的点数。我们证明序列 $\{n^{-1}\mathcal X_{n,\beta}^{\mathbb F}(U); n\ge 1\}$ 的分布律满足速率为 $n^2$ 且具有良好速率函数的大偏差型界。对于 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$，此结果可由收缩原理推导得出。然而，当 $\mathbb{F} = \mathbb{C}$ 时，收缩原理无法产生期望结果。因此，我们采用直接方法来确立我们的结果。