随机无限斐波那契序列的指数增长

我们考虑递归式 $X_{n+1}=\sum_{i=0}^n \epsilon_{n,i}X_{n-i}$，其中 $\epsilon_{n,i}$ 是取值为 $\{-1,1\}$ 的独立同分布（伯努利）随机变量，且 $X_0=1$，对于 $j>0$ 有 $X_{-j}=0$。我们证明，几乎必然地，$n^{-1}\log |X_n|\to \bar \gamma>0$，其中 $\bar \gamma$ 是一个适当的李雅普诺夫指数。这回答了Viswanath和Trefethen提出的一个问题（\textit{SIAM J. Matrix Anal. Appl. 19:564–581, 1998}）。