随机 Fibonacci 序列如何增长？

我们研究两类随机 Fibonacci 序列，定义为 $F_1=F_2=1$，且对 $n\ge 1$，$F_{n+2} = F_{n+1} \pm F_{n}$（线性情形）或 $F_{n+2} = |F_{n+1} \pm F_{n}|$（非线性情形），其中每个符号独立且以概率 $p$ 取 + 或以概率 $1-p$ 取 -（$0<p\le 1$）。我们的主要结果是：对 $0<p\le 1$（线性情形）或 $1/3\le p\le 1$（非线性情形），$F_n$ 的指数增长几乎必然由 $$\int_0^\infty \log x d\nu_\alpha (x),$$ 给出，其中 $\alpha$ 是我们所考虑情形中关于 $p$ 的显式函数，$\nu_\alpha$ 是在 Stern-Brocot 区间上归纳定义的 $\RR_+$ 上的显式概率分布。在非线性情形下，最大 Lyapunov 指数不是 $p$ 的解析函数，因为我们证明了它在 $0<p\le1/3$ 时等于零。我们还给出了关于最大 Lyapunov 指数变化的一些结果，并给出了其导数的一个公式。