随机 Fibonacci 序列指数增长的初等证明

我们考虑由 $x_{n+1}=\pm \beta x_{n}+x_{n-1}$ 给出的随机 Fibonacci 序列。Viswanath（\cite{viswanath}）遵循 Furstenberg（\cite{furst}）表明，当 $\beta = 1$ 时，$\lim_{n\to \infty}|x_{n}|^{1/n}=1.13...$，但他的证明涉及浮点计算机计算的使用。我们给出一个完全初等的证明，即 $1.25577 \ge (E(|x_{n}|))^{1/n} \ge 1.12095$，其中 $E(|x_{n}|)$ 是随机 Fibonacci 序列中第 $n$ 项绝对值的期望值。我们利用递推关系计算此期望值，该递推关系界定了此类序列所有可能第 $n$ 项之和。此外，我们给出上下