源自爱因斯坦主方程的非线性扩散

我们通过考虑处于位置 $r$ 的粒子跳跃 $j$ 个格点长度的概率 $P_j(r)$ 是粒子分布函数 $f(r,t)$ 的泛函，推广了随机游走过程的爱因斯坦主方程。通过多尺度展开，我们得到了一个广义对流 - 扩散方程。我们表明，幂律 $P_j(r) \propto f(r)^{\alpha - 1}$（其中 $\alpha > 1$）源于广义方程允许标度解（$f(r;t) = t^{-\gamma}\phi (r/t^{\gamma})$）的要求。这些解具有 $q$-指数形式，并被发现与蒙特卡洛模拟结果一致，从而为非线性扩散方程提供了微观基础验证。尽管其流体力学极限等价于现象学的多孔介质方程，但存在额外的项，正如蒙特卡洛计算所证明的那样，这些项通常不能被忽略。