布朗运动的非线性爱因斯坦范式与解的局部化性质

我们采用爱因斯坦扩散随机游走范式的推广，导出一类多维退化非线性抛物型非散度形式方程。具体而言，在这些方程中，扩散系数可同时依赖于未知函数及其梯度，并在二者之一为零时消失。已知此类退化方程的解可表现出有限传播速度（即所谓解的局部化性质）。我们利用针对非散度形式方程的 De Giorgi--Ladyzhenskaya 迭代过程给出该性质的证明。随后建立了一个映射定理，将控制方程在一维空间情形下映射到其散度形式版本。通过有限差分格式得到的数值结果用于说明这一特殊情形下的主要数学结论。为完整起见，我们还给出了具有有限传播速度函数的一维自相似解的显式构造，其意义遵循 Kompaneets--Zel'dovich--Barenblatt。由此我们展示了有限传播速度如何定量依赖于模型参数。