以柱面为指标集的分数 Brown 场的不存在性

我们在本文中证明，对于任何 $\varepsilon>0$ 和 $H>0$，不存在以柱面 $\mathbb{S}^1 \times ]0,\varepsilon[$ 及其乘积距离 $d$ 为指标集的 $H$-分数 Brown 场。这等价于说 $d^{2H}$ 不是一个负定核，这也使我们无法证明许多经典平稳核（如高斯核和指数核）在柱面上是正定核或协方差函数。我们将此结果从柱面推广到任何具有极小闭测地线的 Riemann 笛卡尔积。我们还研究了在圆周邻域内赋予渐近接近乘积距离的距离的柱面情形。另一个推论是关于使得 $d^{2H}$ 为负定核的 $H$ 的集合在紧度量空间的 Gromov-Hausdorff 收敛下的不连续性。这些结果扩展了我们对度量空间上核构造的理解，并特别呼吁寻找经典核的替代方案，以允许在柱面上进行高斯建模和核方法学习。