非交换行列式、柯西 - 比内公式及卡佩利型恒等式 II：格拉斯曼与量子谐振子代数表示

我们证明，对于 entries 位于非交换环中的矩阵 $X$、$Y$、$A$ 和 $B$，若满足 $[X_{ij},Y_{k\ell}]=-A_{i\ell} B_{kj}$ 且符合适当的交换关系（特别是 $X$ 为 Manin 矩阵），则以下恒等式成立：$\mathrm{coldet} X \mathrm{coldet} Y = < 0 | \mathrm{coldet} (a A + X (I-a^{\dagger} B)^{-1} Y) |0 >$。此外，若 $Y$ 也是 Manin 矩阵，则 $\mathrm{coldet} X \mathrm{coldet} Y =\int \mathcal{D}(\psi, \psi^{\dagger}) \exp [ \sum_{k \geq 0} \frac{1}{k+1} (\psi^{\dagger} A \psi)^{k} (\psi^{\dagger} X B^k Y \psi) ]$。符号说明：$< 0 |$ 和 $| 0 >$ 分别为基态的左矢和右矢，$a^{\dagger}$ 和 $a$ 为量子谐振子的产生和湮灭算子，而 $\psi^{\dagger}_i$ 和 $\psi_i$ 为 Berezin 积分中的格拉斯曼变量。这些结果应被视为经典柯西 - 比内公式（其中 $A$ 和 $B$ 为零矩阵）以及其非交换推广即卡佩利恒等式（其中 $A$ 和 $B$ 为单位矩阵且 $[X_{ij},X_{k\ell}]=[Y_{ij},Y_{k\ell}]=0$）的推广。