Manin矩阵的代数性质 1

我们研究了一类具有非对易元项的矩阵，这类矩阵最初由Yu. I. Manin于1988年在量子群理论的背景下提出。它们被定义为多项式代数的“非对易自同态”。更明确地说，其定义条件为：1）同一列中的元素对易；2）交叉项的交换子相等：$[M_{ij}, M_{kl}] = [M_{kj}, M_{il}]$（例如$[M_{11},M_{22}] = [M_{21},M_{12}]$）。基本论断是，尽管存在非对易性，线性代数的许多定理对于Manin矩阵仍然以与对易情形完全相同的形式成立。此外，在某些例子中，逆命题也成立。本文给出了迄今为止已知的Manin矩阵代数性质的完整列表和详细证明；其中许多是新的。特别地，我们给出了用矩阵（列宁格勒）记号的表述；提供了Manin矩阵的逆仍是Manin矩阵的完整证明，以及分块矩阵行列式的Schur公式；我们推广了最近发现的非对易Cauchy-Binet公式[arXiv:0809.3516]，其中包括经典的Capelli恒等式及相关恒等式。我们还讨论了许多其他性质，例如逆矩阵的Cramer公式、Cayley-Hamilton定理、Newton和MacMahon-Wronski恒等式、Plücker关系、Sylvester定理、Lagrange-Desnanot-Lewis Caroll公式、Weinstein-Aronszajn公式、行列式的一些乘性性质、与拟行列式的关系、通过Gauss分解计算行列式、共轭到第二标准（Frobenius）型等等。我们参考文献[arXiv:0711.2236]了解一些应用。