Manin 矩阵与 Talalaev 公式

我们研究了一类具有非对易元的特殊矩阵，并展示了它们在可积系统理论中的各种应用。这类矩阵出现在 Yu. Manin 于 87-92 年的工作中，作为多项式环之间的线性同态；更具体地说，它们满足：1) 同一列中的元素对易；2) 交叉项的对易子相等：$[M_{ij}, M_{kl}]=[M_{kj}, M_{il}]$（例如 $[M_{11}, M_{22}]=[M_{21}, M_{12}]$）。我们要指出，这类矩阵的表现几乎与具有对易元的矩阵一样好。即线性代数定理（例如行列式的自然定义、Cayley-Hamilton 定理、Newton 恒等式等等）对它们依然成立。另一方面，我们注意到这类矩阵在量子可积性理论中无处不在。例如，Manin 矩阵（及其 q-类比）包含了满足 Yang-Baxter 关系"RTT=TTR"的矩阵以及所谓的 Cartier-Foata 矩阵。此外，它们还出现在 Talalaev 的 hep-th/0404153 著名公式中：用于"量子谱曲线"的 $det(\partial_z-L_{Gaudin}(z))$、$det(1-e^{-\p}T_{Yangian}(z))$ 等。我们表明，一旦为这类矩阵建立了线性代数定理，它们便在量子可积系统和李代数中有各种应用，例如在 $Z(U(\hat{gl_n}))$ 中新生成元的构造中（一般而言，即在量子守恒律的构造中），在 Knizhnik-Zamolodchikov 方程中，以及在 Wick 排序问题中。我们还讨论了其在变量分离问题、新的 Capelli 恒等式以及 Langlands 对应中的应用。