耗散/阻尼系统中的非标准守恒哈密顿结构：阻尼谐振子的非线性推广

本文指出，在阻尼谐振子与一个带线性强迫的修正埃姆登型非线性振子方程 $\ddot{x}+\alpha x\dot{x}+\beta x^3+\gamma x=0$ 之间存在一个显著的非局域变换，该变换保持了时间无关积分、守恒哈密顿量和运动方程的形式。推广这一变换，我们证明了一类广泛的阻尼非线性振子（包括利énard型系统）存在非标准的守恒哈密顿结构。进一步，利用上述哈密顿结构，针对一个具体例子——广义修正埃姆登方程 $\ddot{x}+\alpha x^q\dot{x}+\beta x^{2q+1}=0$（其中 $\alpha$、$\beta$ 和 $q$ 为任意参数），通过适当的正则变换得到了通解。我们还给出了阻尼马修斯-拉克什马南振子方程的守恒哈密顿结构。最后简要讨论了上述所有系统的相关拉格朗日描述。