非简单极化阿贝尔曲面与具有完全可分解雅可比的亏格3曲线

我们研究非简单极化阿贝尔曲面的空间。具体而言，我们描述了对于哪些数对 $(m,n)$，包含指数为 $m,n$ 的两个互补椭圆曲线的 $(1,d)$ 型极化阿贝尔曲面轨迹（记为 $\mathcal{E}_d(m,n)$）非空。我们证明若 $d$ 无平方因子，则轨迹 $\mathcal{E}_d(m,n)$ 是不可约曲面（若非空）。我们还证明若 $d$ 为奇平方数，轨迹 $\mathcal{E}_d(d,d)$ 可具有多个连通分支。作为应用，我们证明对于具有完全可分解雅可比（即等生于三条椭圆曲线之积）的亏格 $3$ 曲线，互补覆盖 $f_i:C\rightarrow E_i,\ i=1,2,3$ 的次数满足 $lcm(deg(f_1),deg(f_2))=lcm(deg(f_1),deg(f_3))=lcm(deg(f_2),deg(f_3))$。