穿孔 Spin 4-流形中纽结的不可定向亏格

对于一个闭 4-流形 $X$ 以及穿孔 $X$ 边界中的纽结 $K$，我们定义 $\gamma_X^0(K)$ 为穿孔 $X$ 中以 $K$ 为边界的不可定向且零同调曲面的最小第一 Betti 数。注意 $\gamma^0_{S^4}$ 等于不可定向 4-球亏格，因此 $\gamma^0_X$ 是不可定向 4-球亏格的推广。虽然对于给定的 $X$，$\gamma^0_X$ 很可能没有上界，但证明这一点非常困难。事实上，即使在 $\gamma^0_{S^4}$ 的情况下，其无界性也是由 Batson 在 2012 年首次证明的。在本文中，我们证明了对于任意 Spin 4-流形 $X$，$\gamma^0_X$ 没有上界。