解开 genus 4 和 5 的不可定向曲面

在 Conway、Orson 和 Powell 工作的基础上，我们研究了 $D^4$ 中具有纽结群 $\mathbb{Z}_2$ 的不可定向、紧致、局部平坦嵌入曲面的相对边界的同痕类 (isotopy classes rel. boundary)。特别地，我们表明，如果两个这样的曲面在 $S^4$ 中具有固定的纽结边界 $K$，使得 $\vert \det(K) \vert =1$，具有相同的法欧拉数 (normal Euler number)，并且具有相同的不可定向 genus 4 或 5，那么它们是相对边界环境同痕的 (ambiently isotopic rel. boundary)。这意味着 $4$-球体中具有纽结群 $\mathbb{Z}_2$ 且不可定向 genus 为 4 和 5 的闭合、不可定向、局部平坦嵌入曲面在拓扑上是未打结的 (topologically unknotted)。证明依赖于在 Sage 中实现的计算，这些计算表明修正的手术 obstruction 是初等的。此外，我们表明该方法对于不可定向 genus 6 和 7 失效。