具有 $h$-向量 $(h_0,h_1,h_2)$ 的非 level 半标准分次 Cohen-Macaulay 整环

设 $k$ 为特征 0 的代数闭域，$A$ 为 Cohen-Macaulay 分次整环且 $A_0=k$。若 $A$ 是半标准分次的（即 $A$ 作为 $k[A_1]$-模是有限生成的），则它具有 $h$-向量 $(h_0, h_1, ..., h_s)$，该向量编码了 $A$ 的 Hilbert 函数。从现在起，假设 $s=2$。已知若 $A$ 是标准分次的（即 $A=k[A_1]$），则 $A$ 是 level 的。我们将证明，在半标准情形下，若 $A$ 不是 level 的，则 $h_1+1$ 整除 $h_2$。反之，对于任意正整数 $h$ 和 $n$，存在一个非 level 的 $A$ 具有 $h$-向量 $(1, h, (h+1)n)$。此外，这样的例子可以构造为 Ehrhart 环（等价地，正规环面环）。