非凸域的新量测度与庞加莱类型不等式

本文第一部分研究以下在欧几里得空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的非齐次、局部受限的反曲率流动：\begin{align*} \dot{x}=\left(\frac{1}{\frac{E_k(\hat{\kappa})}{E_{k-1}(\hat{\kappa})}-\alpha }-\langle x,\nu\rangle\right)\nu, \quad k=2,3,\ldots,n-1. \end{align*} 在初始超曲面 $\mathcal{M}_0 \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 为星形且其偏移主曲率 $\hat{\kappa}=\kappa+\alpha(1,\ldots,1)$ 位于凸集\begin{align*} \Gamma_{\alpha,k}:=\Gamma_{k-1}\cap \{\lambda\in \mathbb{R}^n:\, E_k(\lambda)-\alpha E_{k-1}(\lambda)>0\}, \end{align*} 的情况下，我们证明该流动存在光滑解且存在于所有正时间，收敛光滑地到圆球。作为推论，我们获得了一组针对非凸域的新的Alexandrov-Fenchel类型不等式。第二部分，我们推导了针对 $k$ 凸超曲面的庞加莱类型不等式，以补充更一般的著名Heintze-Karcher不等式版本。