Parareal 与多重网格时间约简的必要条件和紧致两层收敛界

Parareal 与多重网格时间约简（MGRiT）是最流行的两种并行时间方法。其思想是通过在时间上采用多重网格方法，在并行语境下处理时间积分。若 $\Phi$ 是一个（细网格）时间步进格式，令 $\Psi$ 表示一个“粗网格”时间步进格式，用于近似 $\Phi$ 的 $k$ 步，$k\geq 1$。特别地，$\Psi$ 定义了粗网格校正，且计算 $\Psi$ 应（显著）比计算 $\Phi^k$ 更廉价。已有若干论文研究了 Parareal 和 MGRiT 的收敛性。然而，迄今为止尚未建立关于 Parareal 或 MGRiT 收敛的一般性条件，以回答诸如（i）对于给定的 $\Phi$ 和 $k$，最佳 $\Psi$ 是什么，或（ii）Parareal/MGRiT 能否对我的收敛等问题。本工作推导了将 Parareal 和 MGRiT 应用于线性问题时的收敛充分必要条件，以及紧致两层收敛界。结果依赖于引入一个“时间近似性质”（TAP），它指示了 $\Phi^k$ 必须如何在不同的向量上近似 $\Psi$ 的作用。粗略地说，对于酉对角化算子，TAP 表明细网格与粗网格时间积分格式必须对几何平滑的空间分量以相似方式积分，而对几何高频分量则较少如此。在（非酉）可对角化设定下，每个特征向量 $\mathbf{v}_i$ 的条件数也必须反映于 $\Psi\mathbf{v}_i \sim\Phi^k\mathbf{v}_i$ 的近似程度。一般而言，最坏情况收敛界恰好由 $\min \varphi < 1$ 给出，使得形如 $\|(\Psi-\Phi^k)\mathbf{v}\| \leq\varphi \|(I - \Psi)\mathbf{v}\|$ 的不等式对所有 $\mathbf{v}$ 成立。此类不等式被形式化为 TAP 的不同实现，并构成了 MGRiT 与 Parareal 收敛的基础。