由带时滞随机微分方程给出的近不稳定随机过程族

设 $a$ 为 $[-r, 0]$ 上的有限符号测度，其中 $r \in (0, \infty)$。考虑由线性随机时滞微分方程给出的随机过程 $(X^{(\vartheta)}(t))_{t\in[-r,\infty)}$：$$\mathrm{d} X^{(\vartheta)}(t) = \vartheta \int_{[-r,0]} X^{(\vartheta)}(t + u) \, a(\mathrm{d} u) \, \mathrm{d} t + \mathrm{d} W(t) , \qquad t \ge 0,$$ 其中 $\vartheta \in \mathbb{R}$ 为参数，$(W(t))_{t\ge 0}$ 为标准 Wiener 过程。考虑 $\vartheta \in \mathbb{R}$ 的一个点，在该点模型是不稳定的，即它是局部渐近布朗泛函，且具有满足 $r_{\vartheta,T} \to 0$（当 $T \to \infty$）的特定尺度 $(r_{\vartheta,T})_{T\in(0,\infty)}$。若当 $T \to \infty$ 时有 $\vartheta_T \to \vartheta$，则称族 $\{(X^{(\vartheta_T)}(t))_{t\in[-r,T]} : T \in (0, \infty)\}$ 当 $T \to \infty$ 时是近不稳定的。对每个 $\alpha \in \mathbb{R}$，我们证明了近不稳定族 $\{(X^{(\vartheta+\alpha \ r_{\vartheta,T})}(t))_{t\in[-r,T]}: T \in (0, \infty)\}$ 的似然比过程当 $T \to \infty$ 时的收敛性。作为推论，我们得到了基于观测 $(X^{(\vartheta+\alpha \ r_{\vartheta,T})}(t))_{t\in[-r,T]}$ 的 $\alpha$ 的最大似然估计 $\hat{\alpha}_T$ 当 $T \to \infty$ 时的弱收敛。结果表明，$\hat{\alpha}_T$ 当 $T \to \infty$ 时的极限分布可以表示为满足无时滞随机微分方程的过程的参数的最大似然估计。