上同调不变量的动机构造

设 $G$ 为有理数域上紧致型 $E_8$ 型群，$K$ 为特征 $0$ 的域，$q$ 为 $32$ 个平方和构成的 $5$ 次 Pfister 形式。J-P. Serre 在 1999 年 6 月 23 日写给 M. Rost 的信中提出了以下问题：$G$ 在 $K$ 上分裂当且仅当 $q$ 在 $K$ 上是双曲的，这一论断是否成立？在本文中，我们为任意特征 $0$ 域 $k$ 上具有平凡 Rost 不变量的 $E_8$ 型群构造了一个 $5$ 次上同调不变量，并以有理数域作为 $k$ 肯定地回答了 Serre 的这一问题。此外，我们证明了具有 Rost 特殊对应的簇是范数簇。