子空间的矩与联合数值域

对于给定的 $\mathbb{C}^n$ 的复有限维子空间 $S$ 及固定基，我们研究 $\left(\mathbb{R}_{\geq 0}\right)^n$ 中的紧凸子集，称之为 $S$ 的矩 $m_S=$ convex hull ($\{|s|^2\in\mathbb{R}^n_{\geq 0}: s\in S \wedge \|s\|=1\} )$ $\simeq \{ Diag(Y) \in M_n^h(\mathbb{C}):Y\geq 0, tr(Y)=1, P_S Y P_S=Y\}$，其中 $|s|^2=(|s_1|^2,|s_2|^2,\dots,|s_n|^2)$。该集合在极小厄米矩阵（$M\in M^h_n$ 使得对每个对角 $D$ 有 $\|M+D\|\leq D$，且 $\| \|$ 为谱范数）的判定中相关。我们用使 $S$ 与坐标轴之间夹角极小化的主向量描述 $m_S$ 的极值点与极值曲线。我们还将 $m_S$ 与由正交投影 $P_S$ 及所用固定基构造的 $n$ 个秩一 $n\times n$ 矩阵的联合数值域 $W$ 相联系。这一联系为描述 $m_S$ 与极小矩阵提供了新途径。由此，两个此类联合数值域的交可构造或检测极小矩阵，这比矩的等价条件更易验证。我们还证明了 $m_S$ 是半代数集，等于上述 $W$ 与一超平面的交，且其生成的正锥与 $W$ 的正锥一致。