亚纯函数模空间与拉普拉斯算子的行列式

Hurwitz 空间是二元组 $(X,f)$ 的模空间，其中 $X$ 是紧黎曼曲面，$f$ 是 $X$ 上的亚纯函数。我们研究了平坦奇异黎曼流形 $(X,|df|^2)$ 上的拉普拉斯算子 $\Delta^{|df|^2}$。我们为 $\Delta^{|df|^2}$ 定义了正则化行列式，并将其作为 Hurwitz 空间上的泛函进行研究。我们证明该泛函与一个允许显式积分的偏微分方程组（PDE）相关。这导出了拉普拉斯算子行列式的显式表达式，其由底层黎曼曲面上的基本对象（素形式、theta 函数、规范亚纯双向微分）以及亚纯微分 $df$ 的除子表示。证明过程包含几个具有独立兴趣的部分。作为一个重要的中间结果，我们证明了针对具有圆锥奇点和欧几里得端或圆锥端的平坦曲面上的拉普拉斯算子行列式的 Burghelea-Friedlander-Kappeler 型分解公式。我们引入并研究了具有圆锥奇点曲面的 $S$-矩阵 $S(\lambda)$ 作为谱参数 $\lambda$ 的函数，并将其在 $\lambda=0$ 处的行为与黎曼曲面 $X$ 上的 Schiffer 射影联络联系起来。我们还证明了当圆锥奇点移动时，具有圆锥奇点的紧曲面拉普拉斯算子特征值的变分公式。