典范丛平方中的平坦锥拉普拉斯算子及其正则化行列式

设 $X$ 为亏格 $g\geq 2$ 的紧黎曼曲面，配备平坦锥度量 $|\Omega|$，其中 $\Omega$ 是 $X$ 上具有 $4g-4$ 个单零点的全纯二次微分。设 $K$ 为 $X$ 上的典范线丛。引入作用于 $X$ 上全纯线丛（下述 $\Delta^{(2)}_{|\Omega|}$ 定义中的 $K^2$）以及反全纯线丛（下述 $\bar { K}^{-1}$）截面的柯西-黎曼算子 $\bar \partial$ 与 $\partial$。考虑在配备内积 $<Q_1, Q_2>_{K^2}=\int_X\frac {Q_1\bar Q_2}{|\Omega|}$ 的 $K^2$ 丛平方可积截面希尔伯特空间中作用的拉普拉斯算子 $\Delta^{(2)}_{|\Omega|}:=|\Omega| \partial |\Omega|^{-2}\bar\partial$。我们讨论算子 $\Delta^{(2)}_{|\Omega|}$ 行列式的两种自然定义。第一种使用算子某个特殊自伴扩张（最初定义于在 $\Omega$ 零点附近消失的 $K^2$ 光滑截面）的 zeta 函数，第二种是作用于平凡丛的锥拉普拉斯算子行列式的 Eskin-Kontsevich-Zorich (EKZ) 正则化的类比。与作用于平凡丛的算子情形不同，对于作用于 $K^2$ 的算子，这两种正则化本质上是不同的。将 $\Delta^{(2)}_{|\Omega|}$ 的正则化行列式视为亏格 $g$ 紧黎曼曲面上具单零点二次微分模空间 $Q_g(1, \dots, 1)$ 上的泛函，我们导出该泛函在两种正则化下的显式表达式。EKZ 正则化的表达式与亏格 $g$ 紧黎曼曲面模空间上著名的 Mumford 测度显式表达式密切相关。