平移曲面上旋量丛中的 Laplacian：自伴延拓与正则化行列式

我们研究了作用在具有平坦奇异度量 $|\omega|^2$ 的紧黎曼曲面上的旋量丛中对称 Laplacian 的各种自伴延拓的正则化行列式 ${\rm det}\, \Delta$，其中 $\omega$ 是黎曼曲面上的全纯一次微分形式。我们通过 Abelian 微分模空间上的 Bergman tau 函数和 theta 常数（对应于旋量丛），找到了所谓自伴 Szeg"o 延拓的 ${\rm det}\, \Delta$ 的显式表达式。该表达式可被视为 Bost-Nelson 著名的 spin-$1/2$ 玻色化公式在具有锥形奇点的平坦共形度量情况下的版本，以及平坦椭圆曲线 Ray-Singer 公式的高亏格推广。我们建立了两种不同延拓（例如 Szeg"o 延拓和 Friedrichs 延拓）行列式的比较公式。本文回答了 D'Hoker 和 Phong \cite{DH-P} 三十多年前提出的一个问题。我们还重新审视了 \cite{DH-P} 中关于 Mandelstam 度量（针对任意自旋）发散行列式比率正则化的结果，提出（并计算了）该比率的一种新的正则化方法。