Seiberg-Witten曲面的符号差

Seiberg-Witten椭圆曲线族定义了一个Jacobian有理椭圆曲面$\Z$，其基为$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$。我们证明，对于沿纤维的$\bar{\partial}$算子，正则化行列式$-1/2 \log \det' (\bar\partial^* \bar\partial)$的对数满足Kodaira-Spencer理论中导出的单环拓扑弦振幅的异常方程。我们还证明，不仅行列式线丛及其Quillen度量，而且$\bar{\partial}$算子本身也可以延拓到$\mathrm{Z}$的结点纤维上。该延拓在纤维产生结点纤维的点处引入了行列式线丛曲率的贡献。行列式线丛的整体异常决定了$\mathrm{Z}$的符号差，其等于超多重态数目的负值。