带尖点曲面的解析挠率 II. 正则性、渐近性与曲率定理

在本文中，我们研究对应于一族带尖点且允许奇异纤维的复曲线的行列式线丛上的 Quillen 范数。更确切地说，我们固定一族复曲线 $\pi : X \to S$，其至多具有二重点奇异性。令 $(\xi, h^{\xi})$ 为 $X$ 上的全纯 Hermite 向量丛。令 $\sigma_1, \ldots, \sigma_m : S \to X$ 为互不相交的全纯截面。我们记除子 $D_{X/S} := \rm{Im}(\sigma_1) + \cdots + \rm{Im}(\sigma_m)$，并赋予相对典范线丛 $\omega_{X/S}$ 一个 Hermite 范数，使其在每个 $\pi$ 的纤维上的限制诱导出带双曲尖点的 Kähler 度量。该 Hermite 范数诱导了扭曲相对典范线丛 $\omega_{X/S}(D) := \omega_{X/S} \otimes \mathscr{O}_{X}(D_{X/S})$ 上的 Hermite 范数。对 $n \leq 0$，我们研究行列式线丛 $\lambda(j^*(\xi \otimes \omega_{X/S}(D)^n))$。我们利用本系列第一篇论文中的解析挠率赋予其 Quillen 范数。随后我们研究该 Quillen 范数的正则性及其在奇异曲线轨迹附近的渐近性。渐近式的奇异项足够合理，使得 $\lambda(j^*(\xi \otimes \omega_{X/S}(D)^n))$ 的曲率作为 $S$ 上的电流是良定义的。我们推导了该电流的显式公式，给出了 Riemann-Roch-Grothendieck 定理在电流层面的精细化。这推广了 Takhtajan-Zograf 与 Bismut-Bost 的曲率公式。作为研究的推论，我们还得到了带标记曲线模空间上 Weil-Petersson 形式的若干正则性结果，足以得出一个熟知事实（最初由 Wolpert 给出）：带标记稳定曲线模空间的 Weil-Petersson 体积是 $\pi$ 的幂的有理倍数。