相对典范丛的正性及其应用

给定一族典范极化流形 $f:\mathcal X \to S$，纤维上唯一的 Kähler-Einstein 度量在相对典范丛 $\mathcal K_{\mathcal X/S}$ 上诱导了一个 Hermite 度量。我们利用一个全局椭圆方程证明，除非该族是无穷小平凡的，否则该度量在 $\mathcal X$ 上是严格正的。对于退化族，我们证明全空间上的曲率形式可扩展为 (半) 正闭流。通过纤维积分可知，基底上的广义 Weil-Petersson 形式具有作为正流的扩展。我们证明了关于具有此性质的曲率形式的 Hermite 线丛的扩展定理。该定理可应用于与全空间上相对典范丛相关联的行列式线丛。作为一个应用，得出了典范极化簇的模空间 $\mathcal M_{\text{can}}$ 的拟射影性。直接像 $R^{n-p}f_*\Omega^p_{\mathcal X/S}(\mathcal K_{\mathcal X/S}^{\otimes m})$ ($m > 0$) 承载自然的 Hermite 度量。我们证明了这些直接像的曲率张量的显式公式。将其应用于由 Kodaira-Spencer 映射诱导的态射 $S^p \mathcal T_S \to R^pf_*\Lambda^p\mathcal T_{\mathcal X/S}$，从而获得了 $\mathcal M_{\text{can}}$ 双曲性质的微分几何证明。