Prufer v-乘法域的模块论表征

我们给出 Pr"ufer v-乘法域 (P$v$MD) 的统一 $w$ -理论表征。模块论视角表明，离散子模是 $w$ -纯的，对于 $(w$ -)$,$ finitely 生成的模 $M$，经典序列 $0\to T(M)\to M\to M/T(M)\to 0$ $w$ -分裂，解决了 Geroldinger--Kim--Loper 的一个开放问题。在 $w$ 版本的 Hattori-Davis 理论中，这些条件等价于 $Tor^R_2(M,N)$ 对所有 $R$ -模 $M,N$ 为 $GV$ -离散，等价于 $w$ -gl.dim$(R)\leq 1$，或 $Tor^R_1(X,A)$ 对所有 $X$ 和离散自由 $A$ 为 $GV$ -离散，或 Davis 图 $A\otimes_R B \to \mathcal T\otimes_K \mathcal S$ 的核为 $GV$ -离散。从带外环视角，$R$ 是 P$v$MD 当且仅当对于每一个 $R\subseteq T\subseteq K$ 和每一个 $w$ -最大理想 $m$，局部化 $R_{m}\to T_{\m}$ 是平坦嵌入，所以每个带外环都是 $w$ -平坦且包含是 $w$ -单射。最后，$R$ 是 P$v$MD 当且仅当每个纯 $w$ -单射可除 $R$ -模都是单射。