一类 Baer *-环的维数与挠理论

许多关于有限 von Neumann 代数的已知结果，通过纯代数证明，被推广到某类有限 Baer *-环 ${\mathcal C}$。本文的结果也可视为对类 ${\mathcal C}$ 中 Baer *-环性质的研究。首先，我们证明类 ${\mathcal C}$ 中环上的有限生成模可分裂为有限生成投射模与某挠模的直和。随后，我们定义类 ${\mathcal C}$ 中环上任意模的维数，并证明该维数具有 [W. Lücke, Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and $L^2$-Betti numbers I: Foundations, J. Reine Angew. Math. 495 (1998) 135--162] 中为有限 von Neumann 代数所研究的维数的所有良好性质。该维数定义了一种挠理论，我们证明它等于 Goldie 与 Lambek 挠理论。此外，每个有限生成模在此挠理论中分裂。若 $R$ 是类 ${\mathcal C}$ 中的环，我们可将其以典范方式嵌入同在该类中的正则环 $Q$。我们通过给出幺半群 Proj$(P)\to$ Proj$(Q)$ 的显式同构及其逆，证明 $K_0(R)$ 同构于 $K_0(Q)$，并扩充为 $K_0(R)$ 与 $K_0(Q)$ 的同构。