复形的 Frobenius 维数与同调维数

证明了：在特征为素数且维数为正的 Noether 局部环 $R$ 上，若对 dim $R$ 个连续的正数 $i$ 以及无穷多个 $e$ 有 Tor$_i^R({}^e R, M)=0$，则模 $M$ 具有有限平坦维数。此处 ${}^e R$ 表示通过 Frobenius 自同态的第 $e$ 次迭代将 $R$ 视为 $R$-模的环。在 $R$ 为 Cohen-Macaulay 的情形，只需上述 Tor 消失对单个 $e\geq \log_p e(R)$ 成立，其中 $e(R)$ 为环的重数。这改进了 D. Dailey、S. Iyengar 与本文第二作者的一项结果，并将 C. Miller 的一个定理从有限生成模推广到任意模。我们还证明了：若 $R$ 为完全交环，则对单个正数 $i$ 与 $e$ 的 Tor$_i^R({}^e R, M)$ 消失即足以推出 $M$ 具有有限平坦维数。这推广了 L. Avramov 与 C. Miller 的结果。