等特征零时绝对整闭包的 Tor 消失

我们证明，若对于某个 $i\geq 1$ 有 $Tor_{i}^{R}(R^{+},k) = 0$，则环 $R$ 是正则的，这里进一步假设 $R$ 是一个在等特征零域 $k$ 上有限生成的、维数为 $2$ 的 $\mathbb{N}$-分次环。这回答了 Bhatt、Iyengar 和 Ma 的一个问题。我们利用 $R^{+}$ 上的几乎数学来推导 Noether 环 $R$ 的性质和有理曲面奇点。此外，我们证明等特征零下的 $R^{+}$ 是 $m$-进理想（逐项）分离的，这一条件出现在平坦性的局部判别准则的证明中。在维数 $2$ 时，它是 Ohm-Rush 且交平坦的。作为一个应用，我们证明对于 $i \ll dim(R)$，该假设可能惊人地空洞。我们证明，对 Aberbach 和 Hochster 的一个老问题的肯定回答也能回答此问题。我们利用我们的技术对 André 和 Fiorot 关于分裂子的 'fpqc 类比' 的问题作了一些评论。