关于局部环的Tor-消没性质

设$R$是一个具有剩余域$k$的局部环，$M$，$N$是$R$上的有限生成模。众所周知，如果$pd_R(M) < \infty$或$pd_R(N) < \infty$，则对于$i \gg 0$有$Tor^R_i(M, N) = 0$。如果逆命题成立，即对于$i \gg 0$，$Tor^R_i(M, N) = 0$蕴含$pd_R(M) < \infty$或$pd_R(N) < \infty$，则称环$R$满足Tor-消没性质。对Tor-消没性质的兴趣源于这样一个事实：满足该性质的Cohen-Macaulay局部环也满足Auslander-Reiten猜想。在本文中，我们研究该性质的一个变体。如果$R$是一个广义Golod环，我们证明$Tor^R_i(M, N) = 0$对于$i \gg 0$蕴含$\{curv_R M, curv_R N \} \cap \{0, 1\} \neq \emptyset$。我们证明中的一个关键中间步骤是证明对于广义Golod环$R$上的任何模$M$，有$curv_R M \in \{0, 1, curv_R k\}$。作为应用，我们证明了一般Gorenstein局部环、广义Golod-Gorenstein环的非平凡连通和满足Tor-消没性质，从而满足Auslander-Reiten猜想。我们的方法提出了一种统一途径，并恢复了许多关于Tor-消没性质的旧结果。