三维双曲流形谱的下界

设 $M$ 为直径为 $d$ 且体积 $\leq V$ 的紧致三维双曲流形。若 $\mu_i(M)$ 表示作用于 $M$ 上余闭1-形式的霍奇拉普拉斯算子的第 $i$ 个特征值，我们证明 $\mu_1(M)\geq \frac c{d^3e^{2kd}}$ 且 $\mu_{k+1}(M)\geq \frac c{d^2}$，其中 $c>0$ 仅依赖于 $V$，$k$ 为 $M$ 薄部分连通分支的数目。此外，我们证明对于任意带尖端的有限体积三维双曲流形 $M_\infty$，存在一个直径为 $d_i\to+\infty$ 的 $M_\infty$ 紧致填充序列 $M_i$，使得 $\mu_1(M_i)\geq \frac c{d_i^2}$。