正特征下 Tannakian 范畴的极小扩张

我们将 \cite[Theorem 4.5]{DGNO} 和 \cite[Theorem 4.22]{LKW} 推广到正特征（即有限、未必是 fusion 的情形）。具体而言，我们证明：若 $\D$ 是特征为 $p>0$ 的代数闭域 $k$ 上的有限非退化辫张量范畴，包含一个 Tannakian Lagrangian 子范畴 $\Rep(G)$，其中 $G$ 是有限 $k$-群概形，则 $\D$ 辫张量等价于 $\Rep(D^{\omega}(G))$，其中 $\omega\in H^3(G,\mathbb{G}_m)$，且 $D^{\omega}(G)$ 表示 $G$ 的扭曲双 \cite{G2}。进而我们证明 $\Rep(G)$ 的极小扩张群 $\mathcal{M}_{{\rm ext}}(\Rep(G))$ 同构于群 $H^3(G,\mathbb{G}_m)$。特别地，我们利用 \cite{EG2,FP} 证明 $\mathcal{M}_{\rm ext}(\Rep(\mu_p))=1$，$\mathcal{M}_{\rm ext}(\Rep(\alpha_p))$ 是无限的，且若对半单受限 $p$-李代数 $\g$ 有 $\O(\Gamma)^*=u(\g)$，则 $\mathcal{M}_{\rm ext}(\Rep(\Gamma))=1$ 且 $\mathcal{M}_{\rm ext}(\Rep(\Gamma\times \alpha_p))\cong \g^{*(1)}$。