张量范畴由有限群融合范畴的扩张

我们研究形如 $\Rep G \to \C \to \D$ 的有限张量范畴正合列，其中 $G$ 为有限群。我们证明，在适当假设下，存在一个群 $\Gamma$ 以及置换互作用 $\rhd: \Gamma \times G \to G$ 与 $\lhd: \Gamma \times G \to \Gamma$，使得 $(G, \Gamma)$ 成为具有对 $\D$ 的自然交叉作用的匹配群对，且 $\C$ 等价于 $\D$ 的某个关联交叉扩张 $\D^{(G, \Gamma)}$。对偶地，我们证明有限张量范畴正合列 $\vect_G \to \C \to \D$ 在 $\C$ 上诱导一个 $\Aut(G)$-分次，其中性齐次分支是 $\D$ 的某个张量子范畴的 $(Z(G), \Gamma)$-交叉扩张。作为应用，我们证明 $\D$ 的此类扩张 $\C$ 是弱群论融合范畴当且仅当 $\D$ 是弱群论融合范畴。特别地，我们得出结论：每个半可解半单 Hopf 代数都是弱群论的。