Min-max 理论与具有任意维数中的 H 球的存在性

我们证明了在闭的黎曼流形 N 中，存在具有预期均值曲率的分支浸入的 2 球，这些 2 球的马氏指数受控，且具有任意维数；其中 N 具有有限基本群，满足 $\pi_k(N) \neq 0$ 且 $k \geq 2$，对于特定的预期均值曲率向量的某些一般选择。此外，我们将这一存在性结果扩展到在 N 满足某些 Ricci 曲率条件时，所有可能的预期均值曲率选择下（当 $\dim{N} = 3$ 时）。当 $\dim{N} \geq 4$ 时，我们在 N 满足某些各向同性曲率条件时，建立了马氏指数的下界。作为结果，我们可以利用后续强化的结果，在 N 具有正各向同性曲率且 $\dim{N} \geq 4$ 时构造具有平行均值曲率的 2 球。最后，我们部分解决关于在给定的同伦类中是否存在具有预期均值曲率类型向量场的代表曲面的问题。