具有一致方向凸哈密顿量的哈密顿-雅可比方程的度量熵

本文首先旨在研究具有强制且一致方向凸哈密顿量 $H\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^d)$ 的哈密顿-雅可比方程 $$u_t(t,x)+H\big(D_{x} u(t,x)\big)~=~0\qquad\forall (t,x)\in ]0,\infty[\times\mathbb{R}^d$$ 的粘性解的 BV 型正则性。更确切地说,我们建立了从正时间 $t>0$ 出发的后向特征斜率 $DH(u(t,\cdot))$ 的 BV 估计。基于该 BV 估计,我们量化了将每个给定初值 $u_0\in{\bf Lip}\big(\mathbb{R}^d\big)$ 映射到相应解 $S_tu_0$ 的映射 $S_t$ 在 ${\bf W}^{1,1}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$ 中的度量熵。最后,我们构造了一个反例,表明对于一般严格凸且强制的 $H\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^d)$,$D_xu(t,\cdot)$ 与 $DH(D_xu(t,\cdot))$ 均不属于 $BV_{\mathrm{loc}}$。