数域上的 Mertens 第三定理:新证明、Cramér 不等式、振荡与偏倚

本文的第一个结果是数域情形下 Mertens 第三定理的又一证明,推广了 Hardy 的一种方法。第二个结果涉及 Mertens 第三定理误差项的符号。Diamond 与 Pintz 证明了经典情形误差项无穷次变号,而本文在一个合理技术条件下确立了数域中的这一结果。为此,我们需证明数域上的 Cramér 不等式,其本身亦具独立意义。Lamzouri 基于 Diamond 与 Pintz 的工作,证明了使 Mertens 第三定理误差项为正的实数 $x \ge 2$ 集合之对数密度的存在性,故本文第三个结果将 Lamzouri 的结论推广至数域。我们还对数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 与 $\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ 做了数值探究,拓展了 Rubinstein 与 Sarnak 在经典情形下的类似工作。