Half-Pipe 空间中的平均曲面与无穷小 Teichmüller 理论

我们研究 Half-Pipe 空间 $\mathbb{HP}^3$ 中的光滑类空曲面与双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 上无散向量场之间的对应关系。我们证明一个特例涉及 $\mathbb{H}^2$ 上的调和拉格朗日向量场，它们与 $\mathbb{HP}^3$ 中的平均曲面相关。因此，我们证明无穷小 Douady-Earle 扩张是一个调和拉格朗日向量场，对应于具有无穷远边界数据的 $\mathbb{HP}^3$ 中的平均曲面。我们在圆周上向量场的调和拉格朗日扩张的存在性以及在特定假设下的唯一性方面建立了结果。最后，我们刻画了 Zygmund 和小 Zygmund 条件，并给出了关于 Half-Pipe 宽度的定量界。