$\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称的 $-g\varphi^4$ 理论

势为 $V(\varphi)=\textstyle{\frac{1}{2}} m^2\varphi^2-\textstyle{\frac{1}{4}} g\varphi^4$（$g>0$）的标量场论作为厄米理论是病态的，但在非厄米 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称框架下它是良定义的，并且在时空维数 $D=1$ 的情形具有正实能谱。尽管文献中使用的方法不易推广到量子场论，本文证明了 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称的 $-g\varphi^4$ 理论的路径积分表示可为一般 $D$ 提供统一表述。我们提出非厄米 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称理论的欧氏配分函数 $Z^{\mathcal{P}\mathcal{T}}(g)$ 与 $\lambda \varphi^4$（$\lambda>0$）厄米理论的 $Z_{\rm Herm}(\lambda)$ 之间的一个新猜想关系：$\log Z^{\mathcal{P}\mathcal{T}}(g)=\textstyle{\frac{1}{2}} \log Z_{\rm Herm}(-g+{\rm i} 0^+)+\textstyle{\frac{1}{2}}\log Z_{\rm Herm}(-g-{\rm i} 0^+)$。该关系保证了非厄米 $\mathcal{P}\mathcal{T}$-对称 $-g\varphi^4$ 场论的实能谱。$D=0$ 时一个密切相关的关系被严格成立。对于 $D=1$，利用 $Z^{\mathcal{P}\mathcal{T}}(g)$ 的半经典求值，通过比较基态能量 $E_0^{\mathcal{P}\mathcal{T}}(g)$（消去前）与 $E_{0,\rm Herm}(-g\pm {\rm i} 0^+)$ 的虚部验证了此关系。