PT对称量子力学

本文提出拓宽量子力学的正则表述。通常，人们对哈密顿量施加条件 $H^\dagger=H$，其中 $\dagger$ 表示复共轭与矩阵转置的数学运算。这一传统的厄米性条件足以保证哈密顿量 $H$ 具有实谱。然而，若以更弱且更具物理性的要求 $H^\ddag=H$ 取代该数学条件，其中 $\ddag$ 表示宇称反演与时间反演的联合 ${\cal PT}$，则可得到新的复哈密顿量类别，其谱仍为实且正。利用谐振子哈密顿量的复形变 $H=p^2+x^2(ix)^\epsilon$（其中 $\epsilon$ 为实参数）来研究这种对厄米性的推广。该系统展现出两相：当 $\epsilon\geq0$ 时，由于 ${\cal PT}$ 对称性，$H$ 的能谱为实且正；而当 $-1<\epsilon<0$ 时，由于 ${\cal PT}$ 对称性发生自发破缺，谱包含无穷多个复本征值以及有限个实正本征值。在 $\epsilon=0$ 处发生的相变在量子力学系统及其底层经典系统中均有体现。其他标准实哈密顿量 $H=p^2+x^{2N}(ix)^\epsilon$（$N$ 为整数且 $\epsilon>-N$）的复形变也表现出类似的定性特征；这些复哈密顿量均在 $\epsilon=0$ 处经历相变。这些 ${\cal PT}$ 对称理论可视为从实相空间到复相空间对 conventional 理论的解析延拓。