$\mathbb{Q}$-曲线、赫克特征标与若干丢番图方程

本文研究方程 $x^4+dy^2=z^p$ 与 $x^2+dy^6=z^p$，其中 $d$ 为正的无平方因子数。对每个本原解，我们关联一条定义在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 上的 Frey 曲线，它恰为一条 $\mathbb{Q}$-曲线。我们的主要结果是构造一个 Hecke 特征标 $\chi$，使得经 $\chi$ 扭曲的 Frey 椭圆曲线表示可扩充到 $\text{Gal}_\mathbb{Q}$，从而（由 Serre 猜想）对应于显式 $n$ 与 $\varepsilon$ 下 $S_2(n,\varepsilon)$ 中的新形式。结合若干已知结果与消去技术（及一些改进），这给出了研究上述方程解的系统性流程，并使我们能证明对新的 $d$ 值，两方程在 $p$ 较大时无非平凡本原解。