与椭圆曲线相关序列的无平方值分布
数论
2013-05-03 v2
摘要
设 E 为定义在 Q 上的非 CM 椭圆曲线。对于每个好约化素数 p，E 约化为有限域 F_p 上的曲线 E_p。对于给定的无平方多项式 f(x,y)，我们考察序列 f_p(E) := f(a_p(E), p)，其值与 E 在 F_p 上的约化相关。我们特别关注两个序列：f_p(E) = p + 1 - a_p(E) 和 f_p(E) = a_p(E)^2 - 4p。我们提出了两个结果，旨在确定给定序列中的值何时为无平方数。首先，对于任意固定曲线 E，我们给出了使得 f_p(E) 为无平方数的不超过 X 的素数 p 的个数的上界。此外，我们证明了素数计数函数 \pi_{E,f}^{SF}(X) := #{p ≤ X: f_p(E) 是无平方数} 的猜想渐近公式与适当框内曲线 E 平均值的渐近公式是一致的。
引用
@article{arxiv.1210.3433,
title = {Distribution of squarefree values of sequences associated with elliptic curves},
author = {Shabnam Akhtari and Chantal David and Heekyoung Hahn and Lola Thompson},
journal= {arXiv preprint arXiv:1210.3433},
year = {2013}
}