具有小 Dirac 本征值的流形是幂零流形
微分几何
2008-02-25 v2 谱理论
摘要
考虑具有有界截面曲率和直径、且几乎非负标量曲率的 n 维黎曼自旋流形类。令 r=1（若 n=2,3），r=2^{[n/2]-1}+1（若 n\geq 4）。我们证明，若此类流形上 Dirac 算子的平方有 个小本征值，则该流形微分同胚于一个幂零流形且具有平凡自旋结构。等价地，若 M 不是幂零流形，或者 M 是具有非平凡自旋结构的幂零流形，则 Dirac 算子平方的第 r 个本征值存在一致下界。若具有几乎非负标量曲率的流形有一个小的 Dirac 本征值，且体积不太小，则我们证明该度量接近于 M 上带平行旋量的 Ricci-平坦度量。在四维情形，这意味着 M 要么是环面，要么是 K3 曲面。
引用
@article{arxiv.math/0403142,
title = {Manifolds with small Dirac eigenvalues are nilmanifolds},
author = {Bernd Ammann and Chad Sprouse},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0403142},
year = {2008}
}