envy-free 分配的下界

我们分析在经典 Woodall-Stormquist 场景和非经典情形下的 envy-free 分配数量下界。在前者情形下，有 $r$ 位饥饿玩家，蛋糕(即区间 $[0,1]$)被切成 $r$ 块。则至少存在两种不同的 envy-free 分配。该下界是尖锐的：对于每个 $r$，我们给出偏好示例，使得恰好存在两种 envy-free 分配。在后者(混合)情形下，有 $p$ 位不一定饥饿玩家($p$ 为素数)和 $[0,1]$ 上的连续测度 $\mu$。蛋糕被切成 $2p-1$ 块，块被分配给 $p$ 个盒子(有某些限制)，玩家选择盒子。则至少存在 $\binom{2p-1}{p-1} \cdot 2^{2-p}$ 种 envy-free 分配，使得测度 $\mu$ 在玩家之间均匀分布。