由对称平方L值加权的对称幂L函数的低伏零点

Shingo Sugiyama

由对称平方L值加权的对称幂L函数的低伏零点

数论 2021-07-01 v2

作者: Shingo Sugiyama

摘要

对于全实数域 $F$ 及其 adèle 环 $\mathbb{A}_F$ ，令 $\pi$ 取遍对应于固定权重的本原 Hilbert 模形式的 ${\rm PGL}_2(\mathbb{A}_F)$ 不可约尖形式自守表示之集。进而，我们在水平渐增情形下，确定了对称幂 $L$ -函数 $L(s,{\rm Sym}^r(\pi))$ 的低伏零点的一级密度之对称类型，该密度由对称平方 $L$ -函数 $L(\frac{z+1}{2},{\rm Sym}^2(\pi))$ 在 $z \in [0, 1]$ 处的特殊值加权。若 $0 < z \le 1$ ，我们在水平渐增下的加权密度与 Ricotta 和 Royer 关于 $F=\mathbb{Q}$ 带调和权重的对称幂 $L$ -函数低伏零点密度具有相同的对称类型。因此我们的结果可视为 Ricotta 和 Royer 结果的 $z$ -插值。若 $z=0$ ，由中心值加权的低伏零点密度仅在 $r=2$ 时为不同类型，且如 Katz 和 Sarnak 所预言，它不出现于随机矩阵理论中。此外，我们提出了一个关于由特殊 $L$ -值加权的 $L$ -函数低伏零点密度的猜想。在后半部分，附录 A、B 和 C 专门致力于若干 Zagier 参数化迹公式推广之间的比较。我们证明由 Tsuzuki 与作者给出的显式 Jacquet-Zagier 型迹公式（ST 迹公式）通过特化若干数据可恢复 Zagier、Takase 与 Mizumoto 的全部公式。此类比较并非显然，并包含非平凡的解析计算。

关键词

低伏零点对称幂L函数对称平方L值一级密度 Hilbert模形式迹公式随机矩阵理论

引用

@article{arxiv.2101.06705,
  title  = {Low-lying zeros of symmetric power $L$-functions weighted by symmetric square $L$-values},
  author = {Shingo Sugiyama},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2101.06705},
  year   = {2021}
}

由对称平方L值加权的对称幂L函数的低伏零点

摘要

关键词

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