从热力学平衡集合中推导典型纯态的长期行为

我们考察的是在可分割的希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中演化的孤立宏观量子系统，其初始状态为纯态 $\psi_t$。我们假设不同的宏观状态 $\nu$ 对应于互相正交的子空间 $\mathcal{H}_\nu \subset \mathcal{H}$。设 $P_\nu$ 为投影到 $\mathcal{H}_\nu$ 上的算子。最近的工作表明，对于所有无高度退化本征值且能隙为一般情况的哈密顿量，都有大多数 $\psi_0 \in \mathcal{H}_\mu$ 满足在大多数 $t \geq 0$ 时，$\|P_\nu\psi_t\|^2$ 接近于与 $t$ 和 $\psi_0$ 无关的常数 $M_{\mu\nu}$，前提是 $M_{\mu\nu}$ 不能太小。此处的``大多数''指的是在球面 $\mathbb{S}(\mathcal{H}_\mu)$ 上均匀分布。在本工作中，我们将该结果从对应于微正规集合的均匀分布推广到更为一般的高斯调整投影 (GAP) 测度。对于给定在 $\mathcal{H}$ 上的密度矩阵 $\rho$，$\mathrm{GAP}(\rho)$ 是具有密度矩阵 $\rho$ 的球面 $\mathbb{S}(\mathcal{H})$ 上最广泛分布的测度。我们证明，即使对于 $\mathrm{GAP}(\rho)$-大多数 $\psi_0 \in \mathcal{H}$ 在大多数 $t \geq 0$ 时，$\|P_\nu\psi_t\|^2$ 也接近一个固定值 $M_{\rho P_\nu}$（但必须不能太小）。此外，我们证明了对某些算子 $B$ 而非 $P_\nu$ 以及有限时间的推广。由于某些 GAP 测度是 (Grand-)正规集合的量子类比，因此我们的结果表达了集合等价性的一个版本。