非微正则系综的典范典型性

我们将 Lévy 引理（高维球面上均匀概率分布的浓度度量结果）推广到一类更广的测度，即所谓的 GAP 测度。对于可分 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上任意给定的密度矩阵 $\rho$，GAP$(\rho)$ 是 $\mathcal{H}$ 单位球面上具有密度矩阵 $\rho$ 的最分散概率测度，从而构成均匀分布的自然推广。我们证明了当 $\rho$ 的最大特征值 $\|\rho\|$ 较小时出现浓度度量现象。我们利用这一事实将量子统计力学中著名且重要的典型性结果（即典范典型性与动力学典型性）推广并改进到 GAP 测度。典范典型性是指，对于给定系综的“大多数”纯态 $\psi$，充分小子系统的约化密度矩阵非常接近一个与 $\psi$ 无关的矩阵。动力学典型性是指，对于任意可观测量与任意酉时间演化，对于给定系综的“大多数”纯态 $\psi$，该可观测量在时间演化态 $\psi_t$ 中的（粗粒化）Born 分布非常接近一个与 $\psi$ 无关的分布。迄今为止，典范典型性与动力学典型性仅知适用于有限维球面上的均匀分布（对应微正则系综）以及相当特殊的均值系综。我们的结果表明，只要密度矩阵 $\rho$ 具有小特征值，这些典型性结果对 GAP$(\rho)$ 也成立。由于某些 GAP 测度是经典力学典范系综的量子类比，我们的结果也可视为系综等价性的一种版本。