宏观希尔伯特子空间中典型纯态的时间演化

我们考虑一个宏观量子系统，其纯态 $\psi_t\in \mathcal{H}$ 幺正演化，并认为不同的宏观态对应于 $\mathcal{H}$ 中相互正交的高维子空间 $\mathcal{H}_\nu$（宏观空间）。令 $P_\nu$ 表示到 $\mathcal{H}_\nu$ 的投影。我们证明关于叠加权重 $\|P_\nu\psi_t\|^2$ 演化的两个事实：第一，给定任意 $T>0$，对于来自任一特定宏观空间 $\mathcal{H}_\mu$（可能远离热平衡）的大多数初态 $\psi_0$，曲线 $t\mapsto \|P_\nu \psi_t\|^2$ 在时间区间 $[0,T]$ 上近似相同（即几乎与 $\psi_0$ 无关）。第二，对于来自 $\mathcal{H}_\mu$ 的大多数 $\psi_0$ 以及大多数 $t\in[0,\infty)$， $\|P_\nu \psi_t\|^2$ 接近于一个值 $M_{\mu\nu}$，该值独立于 $t$ 与 $\psi_0$。前者是 Bartsch、Gemmer 和 Reimann 所观测到的动力学典型性现象的一个实例，后者修正、扩展并在某种意义上简化了由 von Neumann 引入、现称为正态典型性的概念。